A20 10 duals

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Energy%20storage%20trade-offs%0A%0A%20%20%20%20*%20%24t%24%3A%20Time%20period%2C%20ranging%20from%20%241%24%20to%20%24T%24%0A%20%20%20%20*%20%24p_t%24%3A%20(positive%2C%20time-varying)%20electricity%20price%0A%20%20%20%20*%20%24u_t%24%3A%20(nonnegative)%20usage%20or%20consumption%0A%20%20%20%20*%20%24q_t%24%3A%20(nonnegative)%20energy%20stored%20in%20the%20battery%20in%20period%20%24t%24%0A%20%20%20%20*%20%24c_t%24%3A%20charging%20of%20the%20battery%20in%20period%20%24t%24%0A%20%20%20%20%20%20%3E%20%24c_t%3E0%24%3A%20battery%20is%20charged%0A%20%20%20%20%20%20%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3E%20%24c_t%3C0%24%3A%20battery%20is%20discharged%0A%0A%20%20%20%20*%20We%20neglect%20energy%20loss.%20So%20energy%20conservation%20means%20that%20%24q_%7Bt%2B1%7D%3Dq_t%2Bc_t%24%2C%20for%20%241%20%5Cleq%20t%20%5Cleq%20T-1%24.%0A%0A%20%20%20%20*%20We%20finish%20with%20the%20same%20battery%20charge%20as%20when%20we%20started%20with%20so%20%24q_1%3Dq_T%2Bc_T%24%0A%20%20%20%20*%20With%20the%20battery%2C%20the%20net%20consumption%20in%20period%20%24t%24%20is%20%24u_t%2Bc_t%24.%20We%20are%20not%20allowed%20to%20pump%20power%20back%20into%20the%20grid%2C%20so%20we%20require%20this%20to%20be%20nonnegative.%20i.e%0A%20%20%20%20%20%20%3E%20%24u_t%2Bc_t%20%5Cgeq%200%24%0A%20%20%20%20*%20Total%20cost%20is%20%24p%5ET(u%2Bc)%24%0A%20%20%20%20*%20Battery%20capacity%20%24Q%24%3A%20%24q_t%5Cleq%20Q%24%0A%20%20%20%20*%20Maximum%20battery%20charge%20rate%20%24C%24%2C%20and%20max%20discharge%20rate%20%24D%24%2C%20so%20%24-D%5Cleq%20c_t%5Cleq%20C%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20cvxpy%20as%20cp%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Problem%20data%0A%20%20%20%20np.random.seed(1)%0A%0A%20%20%20%20T%20%3D%2096%0A%20%20%20%20t%20%3D%20np.linspace(1%2C%20T%2C%20num%3DT).reshape(T%2C1)%0A%20%20%20%20p%20%3D%20np.exp(-np.cos((t-15)*2*np.pi%2FT)%2B0.01*np.random.randn(T%2C1))%0A%20%20%20%20u%20%3D%202*np.exp(-0.6*np.cos((t%2B40)*np.pi%2FT)%20%5C%0A%20%20%20%20-%200.7*np.cos(t*4*np.pi%2FT)%2B0.01*np.random.randn(T%2C1))%0A%20%20%20%20plt.figure(1)%0A%20%20%20%20plt.plot(t%2F4%2C%20p)%0A%20%20%20%20plt.plot(t%2F4%2C%20u%2C%20%22r%22)%0A%0A%20%20%20%20plt.legend(%5B'p'%2C%20'u'%5D)%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%20T%2C%20cp%2C%20np%2C%20p%2C%20plt%2C%20u%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Objective%3A%20Minimize%20Total%20Cost%0A%20%20%20%20minimize%20%24p%5ET(u%2Bc)%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Constraints%0A%20%20%20%20*%20Charge%2Fdischarge%20limits%20%24-D%5Cmathbf%7B1%7D%5Cleq%20c%5Cleq%20C%5Cmathbf%7B1%7D%24%0A%20%20%20%20*%20No%20pumping%20power%20back%20into%20the%20grid%3A%20%24u%2Bc%5Cgeq%200%24%0A%20%20%20%20*%20Battery%20charge%20is%20nonnegative%2C%20and%20below%20capacity%20%240%5Cleq%20q%20%5Cleq%20Q%5Cmathbf%7B1%7D%24.%0A%20%20%20%20*%20Conservation%20of%20charge%20%24q_%7Bt%2B1%7D%3Dq_t%2Bc_t%24%20for%20%24t%3D1%2C%20%5Cldots%20T%24.%0A%20%20%20%20*%20Charge%20at%20the%20end%20%3D%20charge%20at%20the%20start%3A%20%24q_1%3Dq_T%2Bc_T%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Optimization%20Variables%0A%20%20%20%20*%20Battery%20charging%20rate%20%24c%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%5ET%24%0A%20%20%20%20*%20Battery%20charge%20%24q%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%5ET%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(T%2C%20cp%2C%20np%2C%20p%2C%20u)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Parametrized%20problem%0A%20%20%20%20q%20%3D%20cp.Variable(shape%3D(T%2C%201))%0A%20%20%20%20c%20%3D%20cp.Variable(shape%3D(T%2C%201))%0A%20%20%20%20D%20%3D%20cp.Parameter(nonneg%3DTrue)%0A%20%20%20%20C%20%3D%20cp.Parameter(nonneg%3DTrue)%0A%20%20%20%20Q%20%3D%20cp.Parameter(nonneg%3DTrue)%0A%20%20%20%20obj%20%3D%20p.T%20%40%20(u%20%2B%20c)%0A%20%20%20%20cons%20%3D%20%5Bc%20%3E%3D%20-D%2C%0A%20%20%20%20c%20%3C%3D%20C%2C%0A%20%20%20%20q%20%3E%3D%200%2C%0A%20%20%20%20q%20%3C%3D%20Q%2C%0A%20%20%20%20q%5B1%3A%5D%20%3D%3D%20q%5B%3AT-1%5D%20%2B%20c%5B%3AT-1%5D%2C%0A%20%20%20%20q%5B0%5D%20%3D%3D%20q%5BT-1%5D%20%2B%20c%5BT-1%5D%2C%0A%20%20%20%20u%20%2B%20c%20%3E%3D%200%5D%0A%20%20%20%20ts%20%3D%20np.linspace(1%2C%20T%2C%20num%3DT)%20%2F%204%0A%20%20%20%20return%20C%2C%20D%2C%20Q%2C%20c%2C%20cons%2C%20obj%2C%20q%2C%20ts%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(C%2C%20D%2C%20Q%2C%20c%2C%20cons%2C%20cp%2C%20np%2C%20obj%2C%20p%2C%20plt%2C%20q%2C%20ts)%3A%0A%20%20%20%20def%20solve_and_plot_duals(Q_val%2C%20C_val%2C%20D_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Q.value%20%3D%20Q_val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C.value%20%3D%20C_val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D.value%20%3D%20D_val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20prob%20%3D%20cp.Problem(cp.Minimize(obj)%2C%20cons)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pstar%20%3D%20prob.solve()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%20%3D%20plt.figure(figsize%3D(8%2C%207))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20discharge_dual%20%3D%20cons%5B0%5D.dual_value.flatten()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_dual%20%3D%20cons%5B1%5D.dual_value.flatten()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_min%20%3D%20cons%5B2%5D.dual_value.flatten()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_max%20%3D%20cons%5B3%5D.dual_value.flatten()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cons_charge%20%3D%20np.zeros_like(charge_min)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cons_charge%5B0%5D%20%3D%20cons%5B5%5D.dual_value%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cons_charge%5B1%3A%5D%20%3D%20cons%5B4%5D.dual_value.flatten()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1%20%3D%20fig.add_subplot(3%2C%201%2C%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.plot(ts%2C%20c.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.plot(ts%2C%20discharge_dual%20*%2030)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.plot(ts%2C%20charge_dual*%20100)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1.legend(%5B'ct%20(charging%20rate)'%2C%20'discharge_dual'%2C%20'charge_dual'%5D)%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2%20%3D%20fig.add_subplot(3%2C%201%2C%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.plot(ts%2C%20cons_charge)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.plot(ts%2C%20p)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax2.legend(%5B'Energy%20conservation%20dual'%2C%20'price'%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax3%20%3D%20fig.add_subplot(3%2C%201%2C%203)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax3.plot(ts%2C%20q.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax3.plot(ts%2C%20charge_min%20*%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax3.plot(ts%2C%20charge_max*%20100)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax3.legend(%5B'Charge%20upper%20bound'%2C%20'Charge%20lower%20bound'%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fig%0A%0A%0A%20%20%20%20return%20(solve_and_plot_duals%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20happens%20as%20we%20change%20the%20battery%20parameters%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20Q_ui%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0%2C%20stop%3D150%2C%20step%3D5%2C%20value%3D35%2C%20label%3D%22Q%20(capacity)%22)%0A%20%20%20%20C_ui%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0%2C%20stop%3D10%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D3%2C%20label%3D%22C%20(max%20charge%20rate)%22)%0A%20%20%20%20D_ui%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0%2C%20stop%3D10%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D3%2C%20label%3D%22D%20(max%20discharge%20rate)%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5BQ_ui%2C%20C_ui%2C%20D_ui%5D)%0A%20%20%20%20return%20C_ui%2C%20D_ui%2C%20Q_ui%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(C_ui%2C%20D_ui%2C%20Q_ui%2C%20solve_and_plot_duals)%3A%0A%20%20%20%20Q_val%20%3D%20float(Q_ui.value)%0A%20%20%20%20C_val%20%3D%20float(C_ui.value)%0A%20%20%20%20D_val%20%3D%20float(D_ui.value)%0A%0A%20%20%20%20solve_and_plot_duals(Q_val%2C%20C_val%2C%20D_val)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Observations!%0A%20%20%20%20*%20Dual%20variables%20are%20zero%20when%20their%20corresponding%20constraints%20are%20*slack*%0A%20%20%20%20%20%20*%20For%20example%2C%20when%20the%20battery%20isn't%20being%20charged%2C%20the%20corresponding%20dual%20value%20is%20zero.%0A%20%20%20%20%20%20*%20When%20the%20battery%20is%20not%20at%20full%20charge%2C%20the%20dual%20corresponding%20to%20the%20charge%20upper%20bound%20is%20zero.%0A%20%20%20%20*%20The%20energy%20conservation%20dual%20traces%20out%20energy%20prices.%20Why%20is%20that%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A